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Clausius–Duhem 不等式推导

推导不等式

热力学第一定律

由热力学第一定律(能量守恒)

其中,$\vec u$ 为质点位移, $E$ 是单位质量的内能, $\Gamma$ 是单位体积的供热, $\vec Q$ 为面力, $\vec F$ 为体力, $\vec q$ 是单位时间单位面积的热交换。

不考虑热的情况下

由散度定理

将 $\eqref{3}$ 代入 $\eqref{1}$

然后两式相减 $\eqref{4} - \eqref{2}$

将 $\eqref{5}$ 积分与时间求导交换顺序,并且由于积分区域 $\Omega$ 的任意性,得到等式

热力学第二定律

用比熵 $S$ 表示的 Clausius–Duhem 不等式

$S$ 是单位质量的熵, $T$ 为绝对温度。

接下来证明其微分形式表达式:

假设任意区域 $\Omega$ 体积不变(arbitrary fixed control volume),则 $u_n=0$,将式 $\eqref{7}$ 积分与时间导数顺序互换,同时由散度定理

由于 $\Omega$ 的任意性,要是等式恒成立,必须有

进一步展开

由 $ \nabla \cdot (\phi \vec u) = \vec u \cdot \nabla \phi + \phi \nabla \cdot \vec u $

已知物质导数
$\dot{\rho} = \dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \rho \cdot \vec{v} ; \dot{S}=\dfrac{\partial S}{\partial t}+\nabla S \cdot \vec{v}$

整理得

由质量守恒 $ \dot{\rho}+\rho \nabla \cdot \vec{v}=0 $,代入得

由 $ \nabla \dfrac{1}{f} = - \dfrac{\nabla f}{f^2} $,最终得到微分形式

合体

考虑单位质量的自由能

代入式 $\eqref{6}$,得

将整理不等式 $\eqref{8}$,两边同时乘以 $T$,得到

将 $\eqref{17}$ 代入 $\eqref{18}$,得到目标


参考资料

  1. 克劳修斯-迪昂不等式

  2. Clausius–Duhem inequality

  3. Zhang W, Cai Y. Continuum damage mechanics and numerical applications[M]. Springer Science & Business Media, 2010. (Sec 3.5.1, 公式错误真的是够多的。。)