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Triaxiality function 的推导

Triaxiality function $R_v$ 常被用于描述构件在多轴状态下的情形。在各向同性情况下,其表达式为:

以下为该表达式的简单推导。

各向同性损伤应变能释放率

由 $E_D = (1-D)E \Rightarrow \dfrac{\partial E_D}{\partial D}=-E ,\quad \sigma= (1-D)E:\varepsilon$,

由 $\varepsilon^e_{ij} = e^e_{ij}+\varepsilon^e_m \delta_{ij} ,\quad \sigma = s_{ij}+\sigma_m \delta_{ij}$,将应力和应变进行分解

由偏应力偏应变的关系 $s_{ij} =2 \mu e^e_{ij} \Rightarrow e^e_{ij} = \dfrac{1+\nu}{E_D}s_{ij}$、球应力和球应变关系 $\sigma_{kk} = 3K\varepsilon^e_m \Rightarrow \varepsilon^e_m = \dfrac{1-2\nu}{E_D} \sigma_m$

由等效应力 $\sigma_{eq} = \sqrt{\dfrac{3}{2} s_{ij} s_{ij}} \Rightarrow s_{ij}s_{ij} = \dfrac{2}{3} \sigma^2_{eq}$

其中$R_v = \dfrac{2(1+\nu)}{3} + 3(1-2\nu) \left(\dfrac{\sigma_m}{\sigma_{eq}} \right)^2$ 则为 Triaxiality function。


参考文献:

Zhang W, Cai Y. Continuum damage mechanics and numerical applications[M]. Springer Science & Business Media, 2010. (Sec 3.6)