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弹性力学的15个基本方程

在三维情况下,控制线弹性边值问题的基本方程有15个

  1. 平衡微分方程 $\sigma_{i j, i}+F_{b j}=0$ 共3个:
  2. 几何方程 $\varepsilon_{i j}=\frac{1}{2}\left(u_{i},_{j}+u_{j},_{i}\right)$ 共6个:

  1. 本构方程 $\varepsilon_{i j}=\frac{1}{2 G} \sigma_{i j}-\delta_{i j} \frac{v}{E} \Theta$ 共6个:

其中,拉梅系数 $\lambda=\frac{\mu E}{(1+\mu)(1-2 \mu)}$,剪切模量 $G=\frac{E}{2(1+\mu)}$,体积应变 $\theta=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}$,体积应力 $\theta=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}$,

弹性力学的任务就是在给定的边界条件下,就十五个未知量求解十五个基本方程。求解弹性力学问题时,并不需要同时求解十五个基本未知量,可以做必要的简化。为简化求解的难度,仅选取部分未知量作为基本未知量。