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力学概念

冯元桢的连续介质力学公理

冯元桢将经典物理学中的公理均视为连续介质力学的公理,尤其是牛顿第一和第二定律在连续介质力学中的应用。此外,冯元桢还给出了连续介质力学的三个附加公理:

公理一

连续介质在力的作用下仍然保持为连续介质 (A material continuum remains a continuum under the action of forces)。所以,在某一时刻相邻的两个致电在任何时刻都保持相邻。允许物体发生破裂,但断裂面必须被认为是新产生的外表面。在有生命的物体中,允许新的生长。

公理二

在物体中处处可以定义应力和应变 (The stress and strain described in the textbook can be defined everywhere in the body)。

公理三

一点处的应力与该点处的应变和应变随时间的变化(应变)率相关 (The stress at a point is related to the strain and the rate of change of strain with respect to time at the same point)。

连续介质力学研究范围

各向同性材料弹性常数之间的关系

$\lambda, \; G$ $E, \; \nu$ $G, \; \nu$ $E, \; G$ $K, \; \nu$
$\lambda$ $\lambda$ $\dfrac{E \nu}{\left( {1+ \nu} \right) \left( {1-2 \nu} \right)}$ $\dfrac{2 G \nu}{1- 2 \nu}$ $\dfrac{G \left( {E - 2 G} \right)}{3 G -E }$ $\dfrac{3 K \nu}{1+\nu}$
$G$ $G$ $\dfrac{E}{2 \left( {1+ \nu} \right)}$ $G$ $G$ $\dfrac{3K\left( {1- 2\nu} \right)}{2 \left( {1+\nu} \right)}$
$K$ $\dfrac{1}{3} \left( {3 \lambda + 2G} \right)$ $\dfrac{E}{3 \left( {1- 2 \nu} \right)}$ $\dfrac{2 G \left( {1+\nu} \right)}{3 \left( {1- 2\nu} \right)}$ $\dfrac{G E}{3 \left( {3 G -E} \right)}$ $K$
$E$ $\dfrac{3 \lambda+2 G}{2 \left( {\lambda +G} \right)}$ $E$ $2 G \left( {1+\nu} \right)$ $E$ $3K\left( {1-2 \nu} \right)$
$\nu$ $\dfrac{\lambda}{2 \left( {\lambda +G} \right)}$ $\nu$ $\nu$ $\dfrac{E}{2 G}-1$ $\nu$

常见应力等效方式

含义 符号 含义 符号
应力 $\sigma_{ij}$ 应力不变量 $J$
偏应力 $s_{ij}$ 应力偏量不变量 $J’$
八面体正应力 $\sigma_8$ 八面体切应力 $\tau_8$
等效应力 $\bar{\sigma}$ 等效剪应力 $\bar{\sigma}$

应力张量

应力分解:

主应力和应力不变量

其中

应力偏张量

不变量

等效应力

可参考维基百科

塑性理论框架基础

圣维南原理

是弹性力学中一个重要的原理,它一般意义上有两种提法。

提法一

把物体一小部分上的面力,变换为分布不同但静力等效的力,那么只影响近处的应力分布,远处受到的影响可以忽略不计。

提法二

如果物体一小部分边界上的面力一个是平衡力系,那么就只会使近处产生显著应力 远处可以忽略不计。

​理解一下,外力的具体分布只影响作用区域附近的应力分布,即图中虚线以内部分,剩余区域则影响不到。

​其实就是一种对载荷的处理手段,因为在PDE的边界处,集中力、集中力偶这种形式是非常难以描述的,描述出来也没有办法解答,所以对于小边界(相对次要的边界),可以采用静力学的方法进行等效,一般等效成分布力,使得这个分布力系相对于原来的集中力,集中力偶有相同的静力学特征,即分布力系具有与集中力(偶)对应的相同的主矢、主矩。这么做,对替换力系处有显著的影响,但是对于其余的位置,几乎没有影响。