力学概念
冯元桢的连续介质力学公理
冯元桢将经典物理学中的公理均视为连续介质力学的公理，尤其是牛顿第一和第二定律在连续介质力学中的应用。此外，冯元桢还给出了连续介质力学的三个附加公理：
公理一
连续介质在力的作用下仍然保持为连续介质 (A material continuum remains a continuum under the action of forces)。所以，在某一时刻相邻的两个致电在任何时刻都保持相邻。允许物体发生破裂，但断裂面必须被认为是新产生的外表面。在有生命的物体中，允许新的生长。
公理二
在物体中处处可以定义应力和应变 (The stress and strain described in the textbook can be defined everywhere in the body)。
公理三
一点处的应力与该点处的应变和应变随时间的变化(应变)率相关 (The stress at a point is related to the strain and the rate of change of strain with respect to time at the same point)。
连续介质力学研究范围
各向同性材料弹性常数之间的关系
| \(\lambda, \; G\) | \(E, \; \nu\) | \(G, \; \nu\) | \(E, \; G\) | \(K, \; \nu\) | |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\lambda\) | \(\lambda\) | \(\dfrac{E \nu}{\left( {1+ \nu} \right) \left( {1-2 \nu} \right)}\) | \(\dfrac{2 G \nu}{1- 2 \nu}\) | \(\dfrac{G \left( {E - 2 G} \right)}{3 G -E }\) | \(\dfrac{3 K \nu}{1+\nu}\) |
| \(G\) | \(G\) | \(\dfrac{E}{2 \left( {1+ \nu} \right)}\) | \(G\) | \(G\) | \(\dfrac{3K\left( {1- 2\nu} \right)}{2 \left( {1+\nu} \right)}\) |
| \(K\) | \(\dfrac{1}{3} \left( {3 \lambda + 2G} \right)\) | \(\dfrac{E}{3 \left( {1- 2 \nu} \right)}\) | \(\dfrac{2 G \left( {1+\nu} \right)}{3 \left( {1- 2\nu} \right)}\) | \(\dfrac{G E}{3 \left( {3 G -E} \right)}\) | \(K\) |
| \(E\) | \(\dfrac{3 \lambda+2 G}{2 \left( {\lambda +G} \right)}\) | \(E\) | \(2 G \left( {1+\nu} \right)\) | \(E\) | \(3K\left( {1-2 \nu} \right)\) |
| \(\nu\) | \(\dfrac{\lambda}{2 \left( {\lambda +G} \right)}\) | \(\nu\) | \(\nu\) | \(\dfrac{E}{2 G}-1\) | \(\nu\) |
常见应力等效方式
| 含义 | 符号 | 含义 | 符号 |
|---|---|---|---|
| 应力 | \(\sigma_{ij}\) | 应力不变量 | \(J\) |
| 偏应力 | \(s_{ij}\) | 应力偏量不变量 | \(J'\) |
| 八面体正应力 | \(\sigma_8\) | 八面体切应力 | \(\tau_8\) |
| 等效应力 | \(\bar{\sigma}\) | 等效剪应力 | \(\bar{\sigma}\) |
应力张量
应力分解： \[ \sigma_{ij} = \sigma_m \delta_{ij} + s_{ij} \]
主应力和应力不变量
\[ \begin{aligned} & \left| {\sigma_{ij} - \lambda \delta_{ij}} \right| = 0 \\ \Rightarrow & \lambda^3 - J_1 \lambda^2 - j_2 \lambda - J_3 = 0 \end{aligned} \]
其中 \[ \begin{aligned} & J_1 = \sigma_{kk} = \sigma_1 + \sigma_2 + \sigma_3 \\ & J_2 = -\dfrac{1}{2} \left( {\sigma_{ii} \sigma_{kk} - \sigma_{ik} \sigma_{ki}} \right) = - \left( {\sigma_1 \sigma_2 + \sigma_2 \sigma_3 + \sigma_3 \sigma_1 } \right) \\ & J_3 = \left| {\sigma_{ij}} \right| = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 \end{aligned} \]
应力偏张量
\[ s_j = \sigma_j - \sigma_m \] 不变量 \[ J_2' = \left\{ \begin{aligned} & s_{ij}s_{ij}/2 \\ & -(s_1 s_2 + s_2 s_3 + s_3 s_1) = (s_1^2 + s_2^2 + s_3^2)/2 \\ & \left[ {\left( {\sigma_1 - \sigma_2} \right)^2+\left( {\sigma_2 - \sigma_3} \right)^2+\left( {\sigma_3 - \sigma_1} \right)^2} \right] /6 \end{aligned} \right. \]
等效应力
\[ \begin{split} \bar{\sigma} & = \sqrt{3J_2'} \\ & = \sqrt{\dfrac{3}{2}s_{ij}s_{ij} }\\ & = \sqrt{\dfrac{1}{2} \left[ {\left( \sigma_{11}-\sigma_{22} \right)^2 + \left( \sigma_{22}-\sigma_{33} \right)^2 + \left( \sigma_{33}-\sigma_{11} \right)^2 + 6 \left( \sigma_{23}^2+\sigma_{31}^2+\sigma_{12}^2 \right)} \right] }\\ & = \sqrt{\dfrac{1}{2}\left[ {\left( \sigma_{1}-\sigma_{2} \right)^2 + \left( \sigma_{2}-\sigma_{3} \right)^2 + \left( \sigma_{3}-\sigma_{1} \right)^2 } \right] } \end{split} \]
可参考维基百科
塑性理论框架基础
圣维南原理
是弹性力学中一个重要的原理，它一般意义上有两种提法。
提法一
把物体一小部分上的面力，变换为分布不同但静力等效的力，那么只影响近处的应力分布，远处受到的影响可以忽略不计。
提法二
如果物体一小部分边界上的面力一个是平衡力系，那么就只会使近处产生显著应力 远处可以忽略不计。
理解一下，外力的具体分布只影响作用区域附近的应力分布，即图中虚线以内部分，剩余区域则影响不到。
其实就是一种对载荷的处理手段，因为在PDE的边界处，集中力、集中力偶这种形式是非常难以描述的，描述出来也没有办法解答，所以对于小边界（相对次要的边界），可以采用静力学的方法进行等效，一般等效成分布力，使得这个分布力系相对于原来的集中力，集中力偶有相同的静力学特征，即分布力系具有与集中力（偶）对应的相同的主矢、主矩。这么做，对替换力系处有显著的影响，但是对于其余的位置，几乎没有影响。