格林应变和柯西应变
Cauchy Strain
在小变形理论中，柯西应变定义为： \[ \varepsilon =\frac{1}{2} \left( U^T+ U\right)=\frac{1}{2} (u_{i,j}+u_{j,i}) \] 这是在学弹性力学时大家所熟知的应变写法。
弹性力学只关心与应力应变有关的形变（体积改变），而不考虑刚体转动。
小应变理论中的应变定义在连续介质力学中可以用变形梯度张量 \(\bf F\) 来表示
\[ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i})=\frac{1}{2} (F_{ij} + F_{ji}) - \delta_{ij} \]
应变在面对转动时会遇到问题，因为
\[ \pmb \varepsilon = \frac{1}{2}(\pmb F+\pmb F^T)-\pmb I= \frac{1}{2}(\pmb R \cdot \pmb U+\pmb U^T \cdot \pmb R^T)-\pmb I \]
- 不存在转动时，即 \(\pmb R=\pmb I\) 时，有 \(\pmb{\varepsilon} = {\mathbf U} - {\mathbf I}\) ，此时应变 \(\pmb \varepsilon\) 仅仅与形变有关。
- 存在刚体转动时\(\pmb R \ne \pmb I\)，上式中的 \(\pmb R\) 就会对应变产生影响，即刚体转动产生应变，这显然不对。
实际上小应变理论里独用了一个张量来处理刚体转动问题
\[ {\begin{bmatrix} du \\ dv \\ dw \end{bmatrix}} \, = \, {\begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_x & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}} \, + \, {\begin{bmatrix} \varepsilon _x & \frac{1}{2} \gamma _{xy} & \frac{1}{2}\gamma _{xz}\\ \frac{1}{2}\gamma _{yx} & \varepsilon _y & \frac{1}{2}\gamma _{yz}\\ \frac{1}{2}\gamma _{zx} & \frac{1}{2} \gamma _{zy} & \varepsilon _z \end{bmatrix}} {\begin{bmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{bmatrix}} \]
Green Strain
而格林应变不受转动矩阵的影响。
由位移公式 \(u=x-X\)，有
\[ {\bf F} = \frac{\partial}{\partial \bf X} \left({\bf X} + {\bf u}\right) = { \partial {\bf X} \over \partial {\bf X} } + { \partial {\bf u} \over \partial {\bf X} } = {\bf I} + \frac{\partial{\bf u}}{\partial{\bf X}} \]
这里的 \(\bf U\)（体积改变、旋转）并不是 \(\bf R \cdot \bf U\) 的 \(\bf U\)（体积改变）
有限应变理论中，格林应变
\[ {\bf E} = {1 \over 2} \left( {\bf F}^T \cdot {\bf F} - {\bf I} \right) \]
其中，
\[ {\bf F}^T \cdot {\bf F}=\left( {\bf R} \cdot {\bf U} \right)^T \cdot \left( {\bf R} \cdot {\bf U} \right) = {\bf U}^T \cdot {\bf U} \]
因此格林应变只与形变有关。其中 \(\bf R\) 就是坐标变换矩阵
\[ \bf R^T \cdot \bf R = \bf I \]
将
\[ {\bf E} = \dfrac{1}{2} \left({\bf F}^T \cdot {\bf F} - {\bf I} \right) \]
写成分量形式，有
\[ E_{ij} = {1 \over 2} \left( {\partial \, u_i \over \partial X_j} + {\partial \, u_j \over \partial X_i} + {\partial \, u_k \over \partial X_i} {\partial \, u_k \over \partial X_j} \right) \]
和柯西应变 \(\varepsilon_{i,j}\) 比较可以发现，差别其实仅仅在于格林应变多了一个第三项，该项是二次项。该项保证了格林应变不受转动的影响。（不过在大变形下就会导致格林应变偏离工程应变 \(e = \dfrac{\Delta L}{L}\)）实际上，把格林应变放到小应变假设下，就可以省去二阶以上的高阶项，就有 \(E \approx \varepsilon\) 。
所以，格林应变的优势就是在于将转动与形变分离开来，只关注形变。