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格林应变和柯西应变

Cauchy Strain

在小变形理论中,柯西应变定义为:

这是在学弹性力学时大家所熟知的应变写法。

弹性力学只关心与应力应变有关的形变(体积改变),而不考虑刚体转动。

小应变理论中的应变定义在连续介质力学中可以用变形梯度张量 $\bf F$ 来表示

应变在面对转动时会遇到问题,因为

  • 不存在转动时,即 $\pmb R=\pmb I$ 时,有 $\pmb{\varepsilon} = {\mathbf U} - {\mathbf I}$ ,此时应变 $\pmb \varepsilon$ 仅仅与形变有关。
  • 存在刚体转动时$\pmb R \ne \pmb I$,上式中的 $\pmb R$ 就会对应变产生影响,即刚体转动产生应变,这显然不对。

实际上小应变理论里独用了一个张量来处理刚体转动问题

Green Strain

而格林应变不受转动矩阵的影响。

由位移公式 $u=x-X$,有

这里的 $\bf U$(体积改变、旋转)并不是 $\bf R \cdot \bf U$ 的 $\bf U$(体积改变)

有限应变理论中,格林应变

其中,

因此格林应变只与形变有关。其中 $\bf R$ 就是坐标变换矩阵

写成分量形式,有

和柯西应变 $\varepsilon_{i,j}$ 比较可以发现,差别其实仅仅在于格林应变多了一个第三项,该项是二次项。该项保证了格林应变不受转动的影响。(不过在大变形下就会导致格林应变偏离工程应变 $e = \dfrac{\Delta L}{L}$)实际上,把格林应变放到小应变假设下,就可以省去二阶以上的高阶项,就有 $E \approx \varepsilon$ 。

所以,格林应变的优势就是在于将转动与形变分离开来,只关注形变。