(转) 应力张量的认识之线性变换
这一部分主要是对应力张量数学本质的理解。
相似矩阵
通过基础知识我们已经认识到，应力张量代表点的应力状态，它不依赖于坐标系的选取，并且对应着同一主应力状态。用矩阵的观点理解为：
同一点的应力张量矩阵是相似矩阵，并且可以对角化。
然而问题是为什么会这样？
我们可以这么理解，同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态，因此他们存在内在联系（例如受约束于静力平衡方程）。由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必定可以对角化，即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量；而同一点的主应力状态是确定的。于是由相似矩阵的传递性可知，不同截面下的应力张量矩阵是相似的。
线性变换
由应力张量是相似矩阵再进一步，因为 相似矩阵的本质是同一线性变换在不同基下表示的矩阵 ，我们就可以从更根本的角度看待应力张量了：
应力张量代表一个线性变换！
这是一个抽象的认识，或者说是从相似矩阵推论出来的。那么接下来让他具体化：
从基础知识已经知道，利用三个相互垂直的截面截取一点 \(P\)，各个截面上的应力分量组成应力张量。以这三个截面的法线方向为正方向建立笛卡尔坐标系，如下图所示。
对于任意法向 \(\vec{n}=(n_1,\,n_2,\,n_3)\) 的截面，可以得到截面上的应力分量
\[ p_i = \sigma_{ij}\,n_j \]
改写为矩阵表达式
\[ A\,x = y \]
其中，
\[ A = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \tau_{12} & \tau_{13} \\ \tau_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23} \\ \tau_{31} & \tau_{32} & \sigma_{33} \end{pmatrix}\,, x = n_j = \begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \\ n_3 \end{pmatrix}\,, y = p_i = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{pmatrix} \]
根据线性变换与矩阵的一一对应关系可知，应力张量代表一个线性变换（确切的说是线性映射）—— 应力张量将截面位置映射到截面应力 。其数学表述为：
\[ \sigma\,\in \, Hom(U,\,V),\,\sigma:\,x \rightarrow y \quad x=\left(n_1,\,n_2,\,n_3\right)^T \quad y=\left(p_1,\,p_2,\,p_3\right)^T \]
其中， \(U\) 是截面方向余弦组成的线性空间， \(V\) 是截面应力作成的线性空间。
举例说明
以下说明这个线性映射是如何与力学描述相一致的。
之前多次提及，用三个互相垂直的截面截取 \(P\)
点，并以其法向建立笛卡尔坐标系。这样的截面有无数多对，这样的坐标系也有无数多个。为了区分他们，先确定一个
全局坐标系 \(S:Oxyz\)
，那么其他任意的 局部坐标系 \(S′:O′x′y′z′\)
就可以用它的坐标轴方向在全局坐标系下的方向余弦来描述了。
例如，局部系 \(x′\) 轴在全局坐标系下的方向余弦为
\[ \alpha_x = \left(\cos\langle{x',\,x}\rangle,\,\cos\langle{x',\,y}\rangle,\,\cos\langle{x',\,z}\rangle\right) \]
进而，局部坐标系 \(S′\) 可以描述为
\[ \alpha = \left(\alpha_x,\,\alpha_y,\,\alpha_z\right) = \begin{pmatrix} \cos\langle{x’,\,x}\rangle & \cos\langle{y’,\,x}\rangle & \cos\langle{z’,\,x}\rangle \\ \cos\langle{x’,\,y}\rangle & \cos\langle{y’,\,y}\rangle & \cos\langle{z’,\,y}\rangle \\ \cos\langle{x’,\,z}\rangle & \cos\langle{y’,\,z}\rangle & \cos\langle{z’,\,z}\rangle \end{pmatrix} \]
在局部坐标系内，截面 \(\vec{n}\) 用方向余弦表示为
\[ \vec{n}=\left(n_1,\,n_2,\,n_3\right)^T = \left(\cos\langle{\vec{n},\,x'}\rangle,\,\cos\langle{\vec{n},\,y'}\rangle,\,\cos\langle{\vec{n},\,z'}\rangle\right)^T \]
\(\alpha\) 表示局部坐标系在全局坐标系空间下的基。 \(\vec{n}\) 表示任意截面在局部坐标系下的坐标。
局部坐标系任意截面上的应力分布也是类似的情况，其坐标系方向一致，坐标的描述也类似，只是属于不同的空间而已。如此一来，力学描述和数学描述是相互统一的：
力学描述 用任意相互垂直的三个平面截取 \(P\) 点，以截面法向为正方向建立笛卡尔坐标系，得到三个截面上的应力状态即应力张量 \(\sigma\) 。以此为基础，可以求得当前坐标系下任意截面\(\vec{n}\)上的应力分布\(\vec{p}\) 。
数学描述 任意给定一组基\(\alpha\)后，可以用坐标 \(\left(n_1,\,n_2,\,n_3\right)^T\) 描述截面位置，用坐标 \(\left(p_1,\,p_2,\,p_3\right)^T\) 描述截面应力。在这组基下，存在一个线性变换 \(\sigma\) ，将截面位置\(\vec{n}\)映射到截面应力\(\vec{p}\)。
总结
这一部分从相似矩阵及线性变换的角度来认识应力张量，应力张量是从截面位置到截面应力的线性变换所对应的矩阵。
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