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(转) 应力张量的认识之基本概念

从本科的材料成形原理教材上认识了应力张量后,它便一直出现在我们的视野里。初始,仅是一个基本定义接受了它,进而有过疑惑,随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法,但因思路尚未完善而一再搁置;直到今天重新想起,并完成了方向余弦作为线性空间的证明,才终于开始详细记录。

根据我对应力张量的阶段性认识,相应分为三部分进行记录。本文介绍第一部分,应力的基本知识和常规认识。

应力

初中物理已指出,因外力作用而在物体内部产生的力称为内力。单位面积上的内力即是应力,表征内力的强度。

为了研究某一点 $P$ 处的应力,用任意截面在 $P$ 点处切开物体,如下图所示。根据定义可以得到 $P$ 点的正应力 $\sigma$ 、切应力 $\tau$ ,他们的合成即为全应力。

需要注意的是,一个确定的截面对应了一组正应力和切应力。但是过 $P$ 点有无数的截面,那么如何才能真正描述 $P$ 点的应力状态呢?

应力状态

应力状态 是受力物体某一点各个截面上应力的变化情况。上面已经意识到过一点有无数的截面,只有任意截面上的应力分量都被确定,才能说应力状态是确定的。

通常在无数的截面中,任意取三个互相垂直的截面,并以他们的法线方向建立笛卡尔坐标系。也即在P 点截取一个无限小的平行六面体,称为 单元体

单元体无限小,因此单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,也即他俩的应力是相同的。这样只用三个互相垂直的截面上的应力即可分析问题。

由于单元体处于静力平衡状态,由绕各轴合力矩为零可以得到切应力互等定律。

问题:既然单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,那为什么上图平行的平面上应力是相反的?

单元体上相互平行的两个平面视为过该点的同一平面,但是分别是被截开的两部分的平面。截开前他们是重合的,截开后成为了两部分各自的表面,而外表面是有方向的。所以,从各自的方向上来看,应力方向还是相同的。

应力张量

根据上面单元体上的应力分量,是否可以求出下图所示任意截面上的应力分量?

答案是肯定的。根据三个方向的静力平衡就可以计算得到上图法向为 $\vec{n}=(n_1,n_2,n_3)$ 截面上的应力分量。于是,三个互相垂直的截面上的 9 个应力分量可以确定任意截面的应力,也就是说这一点的应力状态被完全确定了。并且,从这三个正交截面的选取上来看,他们和坐标系无关。

于是,我们把单元体上的九个应力分量作为一个整体来描述 $P$ 点的应力状态,称作 应力张量 ,记作

主应力

如果作用在某一截面上的全应力和这一截面垂直,即该截面上只有正应力,则这一截面称为 主平面 ,其法线方向称为应力主方向,该截面的应力称为 主应力 。如果三个坐标轴方向都是主方向,则称这一坐标系为 主轴坐标系

确定方法依然是求解静力平衡方程。

应力张量不变量

在求解主应力的过程中会得到以主应力为未知数的三次方程,叫做 状态方程

状态方程的三个系数由主应力唯一确定,而一点的主应力是唯一的,这样就得到了不随坐标系变化的三个量,叫作 应力张量不变量

用一般应力表示为

主切应力

切应力有极值的截面叫主切应力平面,截面上的切应力叫作 主切应力 。六个主切应力中绝对值最大的叫作最大切应力。通过计算可知,主切应力平面与主应力平面成 45° 夹角。下表是主切应力平面上的正应力、切应力值:

主切应力平面 切应力 正应力
$\left(0,\,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\pm\dfrac{\sigma_2-\sigma_3}{2}$ $\dfrac{\sigma_2+\sigma_3}{2}$
$\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,0,\,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ $\pm\dfrac{\sigma_1-\sigma_3}{2}$ $\dfrac{\sigma_1+\sigma_3}{2}$
$\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\,\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\,0,\right)$ $\pm\dfrac{\sigma_1-\sigma_2}{2}$ $\dfrac{\sigma_1+\sigma_2}{2}$

由于塑性变形是由切应力引起的,所以最大切应力可以作为屈服准则。

应力张量分解

将三个正应力的平均值叫作平均应力或者静水应力,应力张量减去这部分后得到 应力偏张量 。应力偏张量同样有三个不变量。

应力张量分解的物理意义在于:

物体在应力张量作用下的变形分为体积变化和形状变化两部分;前者取决于应力球张量,后者取决于应力偏张量。
体积变化表征弹性变形,当应力偏张量满足一定条件后,则物体发生塑性变形。

应力平衡微分方程

以上说明的都是一点的应力状态,而物体内部不同点的应力状态一般是不同的,那么如何描述相邻点间的应力变化关系呢?

以物体内某一点 $P(x,y,z)$ 为顶点截取边长分别为 $dx,dy,dz$ 的直角平行六面体微元,如下图所示,则另一顶点的坐标为 $(x+dx,y+dy,z+dz)$。

根据静力平衡方程,并处理掉高阶小量,得到应力平衡微分方程:

问题:这部分微六面体应力状态分析图与之前点的应力状态图即为相似,却有不同,如何理解?
二者的涵义完全不同。点的应力状态图强调的是同一个点在不同截面下的状态,而微六面体应力状态分析强调的是相邻两个点之间的应力关系。可以说前者是静态的,后者揭示的是相互作用的关系。

总结

这一部分梳理了我们常规学习的内容,可以概括为两点:

  • 应力张量 —— 某点的应力状态
  • 应力平衡方程 —— 相邻点的相互作用

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