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(转) 应力张量的认识之线性变换

这一部分主要是对应力张量数学本质的理解。

相似矩阵

通过基础知识我们已经认识到,应力张量代表点的应力状态,它不依赖于坐标系的选取,并且对应着同一主应力状态。用矩阵的观点理解为:

同一点的应力张量矩阵是相似矩阵,并且可以对角化。

然而问题是为什么会这样?

我们可以这么理解,同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态,因此他们存在内在联系(例如受约束于静力平衡方程)。由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵,而实对称矩阵必定可以对角化,即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量;而同一点的主应力状态是确定的。于是由相似矩阵的传递性可知,不同截面下的应力张量矩阵是相似的。

线性变换

由应力张量是相似矩阵再进一步,因为 相似矩阵的本质是同一线性变换在不同基下表示的矩阵 ,我们就可以从更根本的角度看待应力张量了:

应力张量代表一个线性变换!

这是一个抽象的认识,或者说是从相似矩阵推论出来的。那么接下来让他具体化:

从基础知识已经知道,利用三个相互垂直的截面截取一点 $P$,各个截面上的应力分量组成应力张量。以这三个截面的法线方向为正方向建立笛卡尔坐标系,如下图所示。

对于任意法向 $\vec{n}=(n_1,\,n_2,\,n_3)$ 的截面,可以得到截面上的应力分量

改写为矩阵表达式

其中,

根据线性变换与矩阵的一一对应关系可知,应力张量代表一个线性变换(确切的说是线性映射)—— 应力张量将截面位置映射到截面应力 。其数学表述为:

其中, $U$ 是截面方向余弦组成的线性空间, $V$ 是截面应力作成的线性空间。

举例说明

以下说明这个线性映射是如何与力学描述相一致的。

之前多次提及,用三个互相垂直的截面截取 $P$ 点,并以其法向建立笛卡尔坐标系。这样的截面有无数多对,这样的坐标系也有无数多个。为了区分他们,先确定一个 全局坐标系 $S:Oxyz$ ,那么其他任意的 局部坐标系 $S′:O′x′y′z′$ 就可以用它的坐标轴方向在全局坐标系下的方向余弦来描述了。

例如,局部系 $x′$ 轴在全局坐标系下的方向余弦为

进而,局部坐标系 $S′$ 可以描述为

在局部坐标系内,截面 $\vec{n}$ 用方向余弦表示为

$\alpha$ 表示局部坐标系在全局坐标系空间下的基。
$\vec{n}$ 表示任意截面在局部坐标系下的坐标。

局部坐标系任意截面上的应力分布也是类似的情况,其坐标系方向一致,坐标的描述也类似,只是属于不同的空间而已。如此一来,力学描述和数学描述是相互统一的:

力学描述
用任意相互垂直的三个平面截取 $P$ 点,以截面法向为正方向建立笛卡尔坐标系,得到三个截面上的应力状态即应力张量 $\sigma$ 。以此为基础,可以求得当前坐标系下任意截面$\vec{n}$上的应力分布$\vec{p}$ 。

数学描述
任意给定一组基$\alpha$后,可以用坐标 $\left(n_1,\,n_2,\,n_3\right)^T$ 描述截面位置,用坐标 $\left(p_1,\,p_2,\,p_3\right)^T$ 描述截面应力。在这组基下,存在一个线性变换 $\sigma$ ,将截面位置$\vec{n}$映射到截面应力$\vec{p}$。

总结

这一部分从相似矩阵及线性变换的角度来认识应力张量,应力张量是从截面位置到截面应力的线性变换所对应的矩阵。

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