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Triaxiality function $R_v$ 常被用于描述构件在多轴状态下的情形。在各向同性情况下,其表达式为:

以下为该表达式的简单推导。

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二维极坐标:

球坐标

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前面两部分分别介绍了应力张量的基础和对其本质的思考,最终得出了应力张量的本质是一个线性变换的结论。这一部分是对上述结论的验证计算和关于严谨性方面的补充证明。

为了加深对应力张量是线性变换的矩阵的理解,进行如下计算: 从线性变换的角度求出变换矩阵(即应力张量),并验证其相似性

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从本科的材料成形原理教材上认识了应力张量后,它便一直出现在我们的视野里。初始,仅是一个基本定义接受了它,进而有过疑惑,随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法,但因思路尚未完善而一再搁置;直到今天重新想起,并完成了方向余弦作为线性空间的证明,才终于开始详细记录。

根据我对应力张量的阶段性认识,相应分为三部分进行记录。本文介绍第一部分,应力的基本知识和常规认识。

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这一部分主要是对应力张量数学本质的理解。

相似矩阵

通过基础知识我们已经认识到,应力张量代表点的应力状态,它不依赖于坐标系的选取,并且对应着同一主应力状态。用矩阵的观点理解为:

同一点的应力张量矩阵是相似矩阵,并且可以对角化。

然而问题是为什么会这样?

我们可以这么理解,同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态,因此他们存在内在联系(例如受约束于静力平衡方程)。由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵,而实对称矩阵必定可以对角化,即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量;而同一点的主应力状态是确定的。于是由相似矩阵的传递性可知,不同截面下的应力张量矩阵是相似的。

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自己在调整 Mathematica 绘图样式的时候总感觉不够意思(审美无能___*(  ̄皿 ̄)/#____),字体、图片大小、坐标轴样式等等调整起来比较耗费功夫,并且有时候不容易达到统一的效果,内置的 PlotTheme 对于论文插图来说也不够精美。

搜索一番,发现了 Mathematica 的 SciDraw 绘图包,样式深得我心。

SciDraw-Example.png

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在 Mathematica 中导入 CSV 文件时,开头出现 \:feff 字符串。使用 ToExpression 处理时会出现转换问题。

简单查找了下,发现是因为直接使用 excel 创建 csv 文件时(UTF8 编码),文件头部被添加了一个不可见字符 BOM (Byte Order Mark) 。该字符用于 Unicode 标识内部编码的排列方式,在 UTF-16、UTF-32 编码里是必须的,而在 UTF-8 里是可选的。有的语法解析器没有对 BOM 做处理。

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