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弹性力学的15个基本方程
在三维情况下，控制线弹性边值问题的基本方程有15个
平衡微分方程 \(\sigma_{i j, i}+F_{b j}=0\) 共3个： \[ \begin{array}{l}{\frac{\partial \sigma_{x}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y x}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{z x}}{\partial z}+F_{b x}=0} \\ {\frac{\partial \tau_{x y}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{y}}{\partial y}+\frac{\partial \tau_{z y}}{\partial z}+F_{b y}=0} \\ {\frac{\partial \tau_{z}}{\partial x}+\frac{\partial \tau_{y z}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{z}}{\partial z}+F_{b z}=0}\end{array} \]
Triaxiality function 的推导
Triaxiality function \(R_v\) 常被用于描述构件在多轴状态下的情形。在各向同性情况下，其表达式为：
\[ R_v = \dfrac{2(1+\nu)}{3} + 3(1-2\nu) \left(\dfrac{\sigma_m}{\sigma_{eq}} \right)^2 \]
以下为该表达式的简单推导。
拉普拉斯算子的极坐标表示
二维极坐标： \[ \begin{equation} \Delta f = \left(\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}\right) f =\left(\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r}+\frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2}}{\partial \theta^{2}}\right) f \end{equation} \]
球坐标 \[ \begin{equation} \begin{aligned} \Delta u &=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} \\ &=\frac{1}{r} \frac{\partial^{2}(r u)}{\partial r^{2}}+\frac{1}{r^{2} \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin \theta \frac{\partial u}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \theta} \frac{\partial^{2} u}{\partial \phi^{2}} \end{aligned} \end{equation} \]
(转) 应力张量的认识之线性变换的证明
前面两部分分别介绍了应力张量的基础和对其本质的思考，最终得出了应力张量的本质是一个线性变换的结论。这一部分是对上述结论的验证计算和关于严谨性方面的补充证明。
为了加深对应力张量是线性变换的矩阵的理解，进行如下计算： 从线性变换的角度求出变换矩阵（即应力张量），并验证其相似性 。
(转) 应力张量的认识之线性变换
这一部分主要是对应力张量数学本质的理解。
相似矩阵
通过基础知识我们已经认识到，应力张量代表点的应力状态，它不依赖于坐标系的选取，并且对应着同一主应力状态。用矩阵的观点理解为：
同一点的应力张量矩阵是相似矩阵，并且可以对角化。
然而问题是为什么会这样？
我们可以这么理解，同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态，因此他们存在内在联系（例如受约束于静力平衡方程）。由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵，而实对称矩阵必定可以对角化，即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量；而同一点的主应力状态是确定的。于是由相似矩阵的传递性可知，不同截面下的应力张量矩阵是相似的。
(转) 应力张量的认识之基本概念
从本科的材料成形原理教材上认识了应力张量后，它便一直出现在我们的视野里。初始，仅是一个基本定义接受了它，进而有过疑惑，随着矩阵论的学习又有了新的认识。曾经就有记录下对其理解的想法，但因思路尚未完善而一再搁置；直到今天重新想起，并完成了方向余弦作为线性空间的证明，才终于开始详细记录。
根据我对应力张量的阶段性认识，相应分为三部分进行记录。本文介绍第一部分，应力的基本知识和常规认识。